Question

当x属于（0,π/4)时,求32tanx/(2+tanx)的最大值.

Answer 1

令u=tanx,∵x属于（0,π/4) ∴tanx属于（0,1）即 u属于（0,1） ∴32tanx/(2+tan2x)=32u/(2+u2) 可以证明32u/(2+u2)在（0,1）上是增函数,∴32u/(2+u2)在（0,1）上无最大值.从而当x属于（0,π/4)时,32tanx/(2+tan2x)无最大值 x应该是属于（0,π/2）.这时就有最大值了.令u=tanx,∵x属于（0,π/2) ∴tanx属于（0,+∞）即 u属于（0,+∞） ∴32tanx/(2+tan2x)=32u/(2+u2)=32/(2/u+u) ∵2/u+u≥2（根号2） ∴32tanx/(2+tan2x=32/(2/u+u)≤32/[2（根号2）]=8（根号2） 当且仅当2/u=u即u=根号2时等号成立,此时x=arctan(根号2) ∴32tanx/(2+tan2x)在x=arctan(根号2)时取得最大值