如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,P是边BC上一点(除端点外),过点A,B,P作⊙O.

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  • 解题思路:(1)∠ABP是圆周角,则AD是圆的直径,因而圆心是AP的中点.

    (2)CD与⊙O相离,可以说明CD到圆心的距离大于半径.

    (3)因为CD与⊙O相切,则OF是梯形APCD的中位线.在直角△ABP中根据勾股定理就可以得到.

    (1)根据90°的圆周角所对的弦是直径,则圆心O为AP的中点;

    (2)过圆心O作EF∥AD交AB、CD于点E、F;

    ∵AB=BP=3,

    ∴AP=3

    2,

    ∴OP=[3/2]

    2,

    ∵OE=[1/2]BP=1.5,

    ∴OF=2.5,

    ∵2.5>[3/2]

    2,

    ∴CD与⊙O相离;

    (3)连接HP,交OF于点G,

    ∵AP是直径,

    ∴∠AHP=90°,

    又∵OF⊥CD,

    ∴OF∥AD,

    ∵O是AP的中点,

    ∴G是HP的中点,

    ∴OG=[1/2]AH,

    又∵GF=DH=PC

    ∴OF=[1/2(AD+PC),

    ∵CD与⊙O相切,F为切点,设BP=x,则PC=4-x,

    在直角△ABP中,AP=

    AB2+BP2]=

    9+x2,

    ∴OF=[1/2]AP=

    点评:

    本题考点: 切线的判定与性质;矩形的性质.

    考点点评: 此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用.