Question

已知点A（-1，0），B（1，-1）和抛物线C：y 2 =4x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M、P，直线M

Answer 1

（1）设点

∵P、M、A三点共线，

∴ k _AM=k _PM，

即

即

，

∴y ₁y ₂=4，

即

为定值．

（2）设∠POM=α，则

·cosα=5.

∵

，

·sinα=5．

由此可得tanα=1，又α∈（0，π），

∴α=45°，

故向量

与

的夹角为45°．

（3）证明：设点

，

∵M、B、Q三点共线，

∴k _BQ= k _OM ，

即

，

即

∴（y ₃+1）（y ₁+y ₃）=

即y ₁y ₃+y ₁+y ₃+4=0.

由（1）知y ₁y ₂=4，即

∴

即4（y ₂+y ₃）+y ₂y ₃+4=0.（*）

∵

∴直线PQ的方程是

（y-y ₂）（y ₂+y ₃）=

即y（y ₂+y ₃）-y ₂y ₃=4x

由（*）式，得-y ₂y ₃=4（y ₂+y ₃）+4，代入上式，得（y+4）（y ₂+y ₃）=4（x-1）．

由此可知直线PQ过定点（1，-4）。