解题思路:根据角平分线的定义可得∠BAE=45°,然后求出∠BAO=60°,再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB,然后判断出△AOB是等边三角形,然后求出△ODC也是等边三角形,判断出①正确;求出AC=2AB,判断出②正确;判断出△ABE是等腰直角三角形,然后求出AB=BE,再求出BO=BE,根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°,然后求出∠AOE=135°,判断出③正确;根据等底等高的三角形的面积相等可得S△AOE=S△COE,判断出④正确.
∵矩形ABCD中,AE平分∠BAD,
∴∠BAE=45°,
∵∠CAE=15°,
∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°,
又∵矩形中OA=OB=OC=OD,
∴△AOB是等边三角形,
∴∠AOB=∠COD=60°,
∴△ODC是等边三角形,故①正确;
由等边三角形的性质,AB=OA,
∴AC=2AB,故②正确;
∵∠BAE=45°,∠ABE=90°,
∴△ABE是等腰直角三角形,
∴AB=BE,
∴BO=BE,
∵∠COB=180°-60°=120°,
∴∠BOE=[1/2](180°-30°)=75°,
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°,故③正确;
∵△AOE和△COE的底边AO=CO,点E到AC的距离相等,
∴S△AOE=S△COE,故④正确;
综上所述,正确的结论是①②③④.
故答案为:①、②、③、④.
点评:
本题考点: 矩形的性质.
考点点评: 本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,垂线段最短,等底等高的三角形的面积相等,综合题,但难度不大,熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.