如图,矩形ABCD中,AE平分∠BAD交BC于E,∠CAE=15°,则下列结论:

1个回答

  • 解题思路:根据角平分线的定义可得∠BAE=45°,然后求出∠BAO=60°,再根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OB,然后判断出△AOB是等边三角形,然后求出△ODC也是等边三角形,判断出①正确;求出AC=2AB,判断出②正确;判断出△ABE是等腰直角三角形,然后求出AB=BE,再求出BO=BE,根据等腰三角形两底角相等求出∠BOE=75°,然后求出∠AOE=135°,判断出③正确;根据等底等高的三角形的面积相等可得S△AOE=S△COE,判断出④正确.

    ∵矩形ABCD中,AE平分∠BAD,

    ∴∠BAE=45°,

    ∵∠CAE=15°,

    ∴∠BAO=∠BAE+∠CAE=45°+15°=60°,

    又∵矩形中OA=OB=OC=OD,

    ∴△AOB是等边三角形,

    ∴∠AOB=∠COD=60°,

    ∴△ODC是等边三角形,故①正确;

    由等边三角形的性质,AB=OA,

    ∴AC=2AB,故②正确;

    ∵∠BAE=45°,∠ABE=90°,

    ∴△ABE是等腰直角三角形,

    ∴AB=BE,

    ∴BO=BE,

    ∵∠COB=180°-60°=120°,

    ∴∠BOE=[1/2](180°-30°)=75°,

    ∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=60°+75°=135°,故③正确;

    ∵△AOE和△COE的底边AO=CO,点E到AC的距离相等,

    ∴S△AOE=S△COE,故④正确;

    综上所述,正确的结论是①②③④.

    故答案为:①、②、③、④.

    点评:

    本题考点: 矩形的性质.

    考点点评: 本题考查了矩形的性质,等边三角形的判定与性质,等腰三角形的性质,垂线段最短,等底等高的三角形的面积相等,综合题,但难度不大,熟记性质并准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键.