Question

设z1是虚数,z2＝z1＋1/z1是实数,且－1≤z2≤1.若W=(1-Z1)/(1+Z1),求证W是纯虚数

Answer 1

设Z1=a+bi 则z2=a+bi+1/(a+bi)

∴z2=a+bi+ [(a-bi)/(a²+b²)]

=[a(a²+b²)+a]/(a²+b²)]+[b(a²+b²)-b]i/(a²+b²)

∵z2是实数

∴b(a²+b²)-b=0

又∵Z1是虚数∴b≠0

∴a²+b²=1

W=(1-z1)/(1+z1)=(1-a-bi)(1+a-bi)/[(1+a)²+b²]

=(1-a²-b²-2bi)/(1+a²+b²+2a)

∵a²+b²=1

∴W=-bi/(1+a)为纯虚数

所以,W是纯虚数