不大好看,我写一下思路,先提出1*2*3*4*n,那么第二行变为|1/2 1 0 0 ……0|,第三行变为|1/3 1 0 0 ……0|,一次类推,最后一行
|1/n 1 0 0 ……0|,然后用第一行减去后面所有行,行列式就变成一个对三角的了,直接计算即可
1 1 1 1 ……1|
|1 2 0 0 ……0|
|1 0 3 0 ……0|
|1 0 0 4 ……0|
|…… …… |
|…… …… |
|1 0 0 0 ……n|
=
|1 1 1 1 …… 1|
|1/2 1 0 0 ……0|
|1/3 0 1 0 ……0| （然后用第一行减去后面所有）
1*2*3*……*n* |1/4 0 0 1 ……0|
|…… …… |
|…… …… |
|1/n 0 0 0 ……1|
=
|1-1/2-1/3-……-1/n 0 0 0 …… 0|
|1/2 1 0 0 ……0|
|1/3 0 1 0 ……0|
1*2*3*……*n* |1/4 0 0 1 ……0|
|…… …… |
|…… …… |
|1/n 0 0 0 ……1|
=1*2*3*……*n*（1-1/2-1/3-……-1/n）