Question

已知函数fx=x/e的2x次方+c,求fx单调区间,最大值,讨论关于x的方程丨lnx丨=fx根的个数大神们帮帮忙

Answer 1

（1）f′(x)＝ 1x ex …（1分） 由f'（x）=0得x=1 当x＜1时,f'（x）＞0,f（x）单调递增； 当x＞1时,f'（x）＜0,f（x）单调递减； ∴函数f（x）的单调递增区间是（-∞,1）；单调递减区间是（1,+∞）…（3分） ∴f（x）的最大值为f(1)＝ 1 e +c…（4分） （2）令g（x）=|lnx|-f（x）=|lnx|-xe -x -c,x∈（0,+∞）…（5分） ①当x∈（1,+∞）时,g（x）=lnx-xe -x -c ∴g′(x)＝ 1 x ex+xex= 1 x +ex(x1) ∵e -x ＞0,x-1＞0∴g'（x）＞0 ∴g（x）在（1,+∞）上单调递增 …（7分） ②当x∈（0,1）时,lnx＜0,g（x）=-lnx-xe -x -c 则g′(x)＝ 1 x +ex(x1) ∵ 1 x ＜1,ex＞0,x1＜0 ∴g'（x）＜0,∴g（x）在（0,1）上单调递减 综合①②可知,当x∈（0,+∞）时,g（x）≥g（1）=-e -1 -c…（9分） 当g（1）＞0即c＜-e -1 时,g（x）没有零点,故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为0 当g（1）=0即c=-e -1 时,g（x）只有一个零点,故关于方程|lnx|=f（x）的根的个数为1 …（11分） 当g（1）＜0即c＞-e -1 时,当x∈（1,+∞）时 由（1）知g(x)＝lnxxexc≥lnx( 1 e +c)＞lnx1c 要使g（x）＞0,只需lnx-1-c＞0即x∈（e 1+c ,+∞） 当x∈（0,1）时,由（1）知g(x)＝lnxxexc≥lnx( 1 e +c)＞lnx1c 要使g（x）＞0,只需-lnx-1-c＞0即x∈（0,e -1-c ） 所以c＞-e -1 时,g（x）有两个零点 …（13分） 综上所述,当c＜-e -1 时,关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为0 当c=-e -1 时,关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为1 当c＞-e -1 时,关于x的方程|lnx|=f（x）根的个数为2 …（14分）