一般来讲不要指望有这样的性质,你的问题一定有一些特殊的条件,才可能导致你观察到的现象
比如说,我观察到
1) M=N'
2) (L+M+N)e=0,e=[1,1,1]^T
3) diag(L)=diag(M)=diag(N)
4) L的对角元全是负数,但恰有1个正特征值
我假定这几条性质是与具体矩阵元素无关的,由此可以推导出部分结果
注意特征值的符号可以由合同变换来确定,所以不必依赖于相似变换
令X=L+M+N,Y=L+wM+w^2N,Z=L+w^2M+wN,其中w是3次单位根
然后做合同变换
[I I I; I w^2I wI; I wI w^2I] * [L M N; N L M; M N L] * [I I I; I wI w^2I; I w^2I wI]
= [3X 0 0; 0 3Y 0; 0 0 3Z]
其中X当然是实对称的,Y和Z都是Hermite阵,特征值都是实的,
(这里的合同变换其实本质上是酉相似变换,差了一个常数倍)
然后你还得利用一下L,M,N的具体性质才可能得到X,Y,Z的惯性指数,当然由共轭性质可以预先知道Y和Z的特征值一样
(利用实际数据可以得出X,Y,Z都恰有两个负特征值,不过没有具体数据的话仅有前面那些性质假设看来还是不够的)
对于更多的块也同样利用单位根去块对角化,然后分析其惯性指数
我这里只是给你演示一下有些性质怎么用,你自己还得从矩阵的来源着手,从应用背景里归结出更多有用的性质,然后还得熟悉对称特征值的各种工具,才能不具体计算而直接推断出惯性指数