Question

设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则方程组Bx=0与ABx=0同解的充分条件是（　　）

Answer 1

解题思路：由于Bx=0的解是ABx=0的解，利用满秩的齐次方程只有零解，可以推出ABx=0的解是Bx=0的解．

易知Bx=0的解是ABx=0的解，

当A列满秩时，即r（A）=n时，齐次线性方程组Ax=0只有零解．

于是，若x₀为ABx=0的任一解，即ABx₀=0，则一定有Bx₀=0，

从而x₀也为Bx=0的解，故组Bx=0与ABx=0同解，

而当r（A）=m时，A的列不是满秩，齐次方程Ax=0有非零解，则是充分非必要条件，排除（B）；

同理，当r（B）=n或r（B）=s时，不能保证齐次方程Ax=0只有零解，（C）（D）也不正确；

故选择：A．

点评：

本题考点： 满秩矩阵．

考点点评： 本题主要考查满秩矩阵有解的性质，属于基础题．