Question

已知函数f（x）=x 3 +bx 2 +cx在x=1处取得极小值-2．

Answer 1

（I）∵函数f（x）=x ³+bx ²+cx，

∴f′（x）=3x ²+2bx+c，

∵函数f（x）=x ³+bx ²+cx在x=1处取得极小值-2，

∴

f(1)=1+b+c=-2

f ′ (1)=3+2b+c=0 ，

解得b=0，c=-3．…3 分

∴f′（x）=3x ²+2bx+c=3x ²-3=3（x-1）（x+1），

∴当x＜-1或x＞1时，f′（x）＞0；

当-1＜x＜1时，f′（x）＜0，

∴（-∞，-1），（1，+∞）是单调递增区间，（-1，1）是单调递减区间．…6 分

（II）y=f（x+μ）-v

=（x-μ） ³-3（x-μ）-v，

由方程组

y=(x+μ ) 3 -3(x+μ)-v

y= x 3 -3x ，

得3μx ²+3μ ²x+μ ³-3μ-v=0至多有一个实根，…8 分

∴△=9μ ⁴-12μ（μ ³-3μ-v）≤0，

∴-μ ³+12μ+4v≤0，

∴ v≤

1

4 μ 3 -3μ 当u＞0时恒成立．…10 分

令 g(μ)=

1

4 μ 3 -3μ，(μ＞0) ，

则 g ′ (μ )=

3

4 μ 2 -3

=

3

4 (μ-2)(μ+2) ，

由此知函数g（μ）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，

所以当μ=2时，函数g（μ）取最小值，即为-4，于是v≤-4．…13 分