Question

已知复数z 1 满足：|z 1 |=1+3i-z 1 ．复数z 2 满足：z 2 •（1-i）+（3-2i）=4+i．

Answer 1

（1）设z ₁=x+yi（x，y∈R），

由|z ₁|=1+3i-z ₁，得

x 2 + y 2 =1+3i-(x+yi) =1-x+（3-y）i，

∴

1-x=

x 2 + y 2

3-y=0 ，解得

x=-4

y=3 ．

∴z ₁=-4+3i．

而z ₂•（1-i）=1+3i，

∴ z 2 =

1+3i

1-i =

(1+3i)(1+i)

(1-i)(1+i) =

-2+4i

2 =-1+2i，

（2）由（1）知，

OA =(-4，3) ，

OB =(-1，2) ，∴ |

OA| =

(-4 ) 2 + 3 2 =5 ， |

OB |=

(-1 ) 2 + 2 2 =

5 ．

由

OA •

OB =|

OA | |

OB |cos∠AOB ，得（-4）×（-1）+3×2= 5

5 cos∠AOB ，

解得 cos∠AOB=

2

5 ，∴ sin∠AOB=

1

5 ．

∴△OAB的面积 S=

1

2 ×5×

5 ×

1

5 =

5

2 ．