Question

设A（-2,√3）,F为椭圆x^2/16+y^2/12=1的右焦点,点M在椭圆上移动,当|AM|+2|MF|取最小值时,

Answer 1

由椭圆可知a=4,b=2√3,c=2

所以e=1/2

过点M作椭圆右准线x=8的垂线,设垂足为N,

过点A作椭圆右准线x=8的垂线,设垂足为P,

则|MF|/|MN|= e=1/2

即2|MF|=|MN|

所以|AM|+2|MF|

=|AM|+|MN| ≥|AN|≥|AP|=10

（当且仅当动点M在线段AP上时取等号）

所以|AM|+2|MF|的最小值为10,

当|AM|+2|MF|取最小值时,点M的纵坐标为√3

代入椭圆方程可得x=2√3

即点M坐标为（2√3,√3）