为了叙述简单,我们令
A=a^3b-ab^3=ab(a+b)(a-b)
B=b^3c-bc^3=bc(b+c)(b-c)
C=c^3a-ca^3=ca(c+a)(c-a)
首先 10=2*5,证明这三个数中至少有一个同时被2、5整除即可.
如果a,b中有一个是偶数,那么A是2的倍数,如果a,b都是奇数,那么a+b和a-b都 偶数,所以A也是2的倍数,
同样地,要证明的三个数A、B、C都是2的倍数,现在只要证明其中至少有一个是5的倍数即可.
1.如果a,b,c中有一个是5的倍数,那么结论成立
2.如果a,b,c都不是5的倍数,那么除以5以后的余数肯定是1,2,3,4,
即 a,b,c都是形如 5k+1,5k+2,5k+3,5k+4这样的数
如果a,b,c中有某两个数除以5后的余数相等,比如a,b除以5后的余数相等,那么 这两个数的差a-b肯定是5的倍数,那么,A是5的倍数.
如果a,b,c中任意两个数除以5后的余数都不相等,那么这三个余数肯定是1,2,3,4中的三个,肯定会同时有2,3或者会同时有1,4
比如,a,b除以5后余数是2,3,那么 a+b能被5整除,A就能被5整除.
综上所述,这三个数肯定至少有一个数是10的倍数,即能被10整除.