解题思路：（1）由f（x）=（x2-3x+3）•ex，知f′（x）=（x2-x）ex，令f′（x）≥0，则x≥1或x≤0，由此能够确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数．
（2）先将x0代入f'（x）求出
f′(
x
0
)
e
x
0
]=x2-x0，然后转化成方程x2-x-[2/3]（t-1）2=0在（-2，t）上有解的问题，分类讨论确定x0的个数．
（1）f′（x）=（2x-3）ex+（x2-3x+3）ex=（x2-x）ex=x（x-1）ex=0，得x=0或x=1
由f′（x）＞0⇒x＜0，或x＞1；f′（x）＜0⇒0＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
∴要使f（x）在（-2，t）上为单调函数，则-2＜t≤0．（6分）
（2）∵
f′(x0)
ex0
＝x20−x0，
∴
f′(x0)
ex0＝
2
3(t−1)2，
即为x02-x0=
2
3(t−1)2，
令g（x）=x2-x-
2
3(t−1)2，从而问题转化为证明方程g（x）=x2−x−
2
3(t−1)2=0在（-2，t）上有解并讨论解的个数，
因为g（-2）=6-
2
3]（t-1）2=-[2/3(t−4)(t+2)，g（t）=t（t-1）-
2
3(t−1)2=
1
3(t+2)(t−1)，
所以当t＞4或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，
所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，
当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，
但由于g（0）=-
4
3(t−1)2＜0，所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解，
当t=1时，g（x）=x2-x=0，解得x=0或1，
所以g（x）=0在（-2，t）上有且只有一解，
当t=4时，g（x）=x2-x-6=0，
所以g（x）=0在（-2，t）上也有且只有一解，
综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足
f′(x0)
ex0＝
2
3(t−1)2，
且当t≥4或-2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意，
当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．
考点点评： 本题考查利用导数研究函数的单调性、根的存在性及根的个数判断，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
1年前
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