Question

（2011•衢州模拟）已知函数f（x）=2lnx-x2．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=2lnx-x²得到：f′(x)＝

2(1−x)(1+x)

x，

∵x∈[

1

2，2]，故f′（x）=0在x=1有唯一的极值点，f(

1

2)＝−2ln2−

1

4，f（2）=2ln2-4，f（x）_极大值=f（1）=-1，

且知f(2)＜f(

1

2)＜f(1)，所以最大值为f（1）=-1．

（Ⅱ）∵g′(x)＝

2

x−2x−a，又f（x）-ax=0有两个不等的实根x₁，x₂，

则

2lnx1−x12−ax1＝0

2lnx2−x22−ax2＝0，两式相减得到：a＝

2(lnx1−lnx2)

x1−x2−(x1+x2)

于是g′(px1+qx2)＝

2

px1+qx2−2(px1+qx2)−[

2(lnx1−lnx2)

x1−x2−(x1+x2)]

=

2

px1+qx2−

2(lnx1−lnx2)

x1−x