Question

已知函数f（x）=3ax4-2（3a+1）x2+4x

Answer 1

解题思路：求导函数f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4

（1）当

a=

1

6

时，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2），求得导数为0的方程的根，确定函数的单调性，进而可求函数的极值与极值点；

（2）考虑问题的反面，假设f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立，从而3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立，求得a的反面，取其补集，可求a的取值范围．

求导函数f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4

（1）当a=

1

6时，f′（x）=2x³-6x+4=2（x-1）²（x+2）

令f′（x）=2（x-1）²（x+2）=0，∴x₁=1，x₂=-2

∵函数在（-∞，-2）上单调减，在（-2，1）上单调增，在（1，+∞）上单调增

∴函数的极值点是x=-2，f（x）的极值为-12；

（2）假设f（x）在（-1，1）上是增函数，则f′（x）=12ax³-4（3a+1）x+4≥0在（-1，1）上恒成立

∴3ax²+3ax-1≤0在（-1，1）上恒成立

令g（x）=3ax²+3ax-1，则

a＞0

g(-1)≤0

g(1)≤0或

a＜0

g(-

1

2)≤0或a=0

∴

a＞0

-1≤0

6a-1≤0或

a＜0

-

3a

4-1≤0或a=0

∴-

4

3≤a≤

1

6

∴f（x）在（-1，1）上不是增函数，a的取值范围为(-∞，-

4

3)∪(

1

6，+∞)

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题以函数为载体，考查导数的运用，考查函数的极值与函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．