(2009•大同二模)如图,以△ABC的三边为边,在BC的同一侧分别作三个等边三角形,△ABD,△BCE和△ACF.

1个回答

  • 解题思路:(1)根据∠DBE=∠ABC,BD=BA,BE=BC,可证明△DBE≌△ABC,同理可证明△ABC≌△FEC,继而得证;

    (2)由(1)知DE=AC=AF,FE=AB=AD,则四边形ADEF是个平行四边形;

    (3)如四边形ADEF是矩形,则∠DAF=90°,又有∠BAD=∠FAC=60°,可得∠BAC=150°,故∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;

    (4)当AB=AC时,四边形ADEF为菱形.

    证明:(1)∵∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE,BD=BA,BE=BC,

    ∴△DBE≌△ABC(SAS),

    同理可证:△ABC≌△FEC,

    ∴△DBE≌△ABC≌△FEC;

    (2)∵△DBE≌△ABC≌△FEC,

    ∴DE=AC=AF,FE=AB=AD,

    ∴四边形ADEF是个平行四边形;

    (3)∵四边形ADEF是平行四边形,

    ∴当∠DAF=90°时,四边形ADEF是矩形,

    ∴∠FAD=90°.

    ∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°.

    则当∠BAC=150°时,四边形ADEF是矩形;

    (4)当△ABC为等腰三角形并且不是等边三角形时,即AB=AC时,

    由第(2)题中可知四边形ADEF的四边都相等,此时四边形ADEF是菱形.

    点评:

    本题考点: 矩形的判定;全等三角形的判定与性质;等边三角形的性质;平行四边形的判定;菱形的判定.

    考点点评: 本题综合考查等边三角形的性质及三角形内角和为180°、平行四边形和矩形的判定等知识,注意这些知识的灵活运用.