Question

已知：O是坐标原点,P（m,n）（m＞0）是函数y=（k＞0）上的点,过点P作直线PA⊥OP于P,直线PA与x轴的正半轴

Answer 1

由P在y=k/x上,可得m*n=k.

有PA⊥OP于P交x正半轴于A(a,0),可得m*(m-a)+n*n=0,S=a*n/2.

将m=k/n代入可得a=n^3/k+k/n,再将此代入S表达式可得S=(n^4/k+k)/2.又因为S=1+n^4/4,可得k=2.

又因为k≠n^4/2,即n^2≠2.

所求OP^2为m^2+n^2,即k^2/n^2+n^2=4/n^2+n^2≥2*2/n*n=4,当2/n=n时取等.

又因为n^2≠2,且n为小于20的整数,故取距离根号二较近的整数代入计算.

得到n取1或2时OP^2均取得最小值5.