Question

设y=f(x)二阶可导,且其一阶、二阶导数均不为零,其反函数为x=φ(y),则φ''(y)=____

Answer 1

∵函数y=f(x)的反函数为x=φ(y)

则在反函数可导的条件下,我们有

φ'(y)=1/f'(x) ······(*)

假定(*)是可导的,

把等号右边视作分式,等式两端再对y求导

φ"(y)={-1/[f'(x)]²}·[f'(x)]'(y)

(最后的括弧y表示对y求导)

式中第二个因子中f'(x)是x的函数,却要对y求导,应该把x看做中间变量,用复合函数求导法则先对x求导,再乘上x对y的导数φ'(y).所以

φ"(y)=-1/[f'(x)]²·[f'(x)]'(x)·φ'(y)

=-f"(x)/[f'(x)]²·φ'(y)

把(*)式代入上式即得到：

φ"(y)=-f"(x)/[f'(x)]³

填-f"(x)/[f'(x)]³