Question

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=

Answer 1

解题思路：（1）由△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，AD是斜边的中线，可得：AD=DC，∠EAD=∠C=45°，AD⊥BC即∠CDF+∠ADF=90°，又DE⊥DF，可得：∠EDA+∠ADF=90°，故∠EDA=∠CDF，从而可证：△AED≌△CFD；

（2）由（1）知：AE=CF，AF=BC，DE=DF，即△EDF为等腰直角三角形，在Rt△AEF中，运用勾股定理可将EF的值求出，进而可求出DE、DF的值，代入S_△EDF=[1/2]DE²进行求解．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，AB=AC，AD为BC边的中线，

∴∠DAC=∠BAD=∠C=45°，AD⊥BC，AD=DC，

又∵DE⊥DF，AD⊥DC，

∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠FDA=90°，

∴∠EDA=∠CDF

在△AED与△CFD中，

∠EDA=∠CDF

AD=CD

∠EAD=∠C，

∴△AED≌△CFD（ASA）．

（2）由（1）知：AE=CF=6，同理AF=BE=8．

∵∠EAF=90°，

∴EF²=AE²+AF²=6²+8²=100．

∴EF=10，

又∵由（1）知：△AED≌△CFD，

∴DE=DF，

∴△DEF为等腰直角三角形，DE²+DF²=EF²=100，

∴DE=DF=5

2，

∴S_△DEF=[1/2]×(5

2)2=25．

点评：

本题考点： 全等三角形的判定；勾股定理．

考点点评： 本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等．