已知侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,则该球的表面积为______.

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  • 解题思路:侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,说明三棱锥的正方体的一个角,把三棱锥扩展为正方体,它们有相同的外接球,球的直径就是正方体的对角线,求出直径,即可求出球的表面积.

    因为侧棱长为a的正三棱锥P-ABC的侧面都是直角三角形,且四个顶点都在一个球面上,

    三棱锥的正方体的一个角,把三棱锥扩展为正方体,它们有相同的外接球,

    球的直径就是正方体的对角线,正方体的对角线长为:

    3a;

    所以球的表面积为:4π(

    3a

    2)2=3πa2

    故答案为:3πa2

    点评:

    本题考点: 球的体积和表面积.

    考点点评: 本题是基础题,考查三棱锥的外接球的表面积的求法,三棱锥扩展为正方体是本题的关键,正方体的对角线是外接球的直径也不容忽视,考查计算能力.