Question

如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为线段AB，CD，C1D1的中点．求证：

Answer 1

解题思路：（1）只要证明AP∥MC₁，利用线面平行的判定定理；

（2）由（1）可得，C₁M∥平面ANPA₁，只要证明PN∥CC₁，Z再由线面平行的判定定理证明．

证明：（1）因为长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分别为线段AB，CD，C₁D₁的中点，

所以AM∥PC₁，并且AM=PC₁，

所以四边形AMC₁P，是平行四边形，

所以AP∥MC₁，

AP⊂平面ANPA₁，MC₁平面ANPA₁

所以C₁M∥平面ANPA₁；

（2）由（1）C₁M∥平面ANPA₁，

长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，N，P分别为线段CD，C₁D₁的中点，

所以PN∥CC₁，

又因为MC₁∩CC₁=C₁，AP∩PN=P，

所以平面C₁MC∥平面ANPA₁．

点评：

本题考点： 直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定．

考点点评： 本题长方体中线面平行和面面平行的判断；关键是将所证转化为线线关系，熟练面面平行的判定定理．