Question

设函数f（x）=x3+bx2+cx（x∈R），若g（x）=f（x）-f′（x）是奇函数

Answer 1

解题思路：（1）根据g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数，且f'（x）=3x²+2bx+c能够求出b与c的值．

（2）对g（x）进行求导，g'（x）＞0时的x的取值区间为单调递增区间，g'（x）＜0时的x的取值区间为单调递减区间．

（1）∵f（x）=x³+bx²+cx，

∴f'（x）=3x²+2bx+c．

从而g（x）=f（x）-f'（x）=x³+bx²+cx-（3x²+2bx+c）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x-c

是一个奇函数，所以g（0）=0得c=0，

由奇函数定义得b=3；

（2）由（1）知g（x）=x³-6x，从而g'（x）=3x²-6，

当g'（x）＞0时，x＜-

2或x＞

2，

当g'（x）＜0时，-

2＜x＜

2，

由此可知，（-∞，-

2）和（

2，+∞）是函数g（x）的单调递增区间；（-

2，

2）是函数g（x）的单调递减区间；

点评：

本题考点： 利用导数研究函数的单调性．

考点点评： 本题主要考查对导数的理解．导数大于0时可求原函数的单调递增区间，导数小于0时可求原函数的单调递减区间