Question

在三角形ABC中,已知P为BC边垂直平分线上一点,且角PBG等于二分之一角A,BP、CP分别交AC、AB于D、E.求证：

Answer 1

作PG与AB交于点Q,连接QC,QC与BD交与点R

∵PG垂直平分BC,

∴所以PB=PC,∠PBC=∠PCB=∠A/2

∴∠DPC=2∠PBC=∠A

又∵∠DCP=∠ECA

∴∠AEC=180°-∠A-∠ECA=180°-∠DPC-∠DCP=∠PDC

∴△CEA∽△CDP 同理△BDA∽△BEP

∵∠PBC=∠PCB ∠PGB=∠PGC=90°

∴∠BPG=∠CPG

∴∠QPR=∠BPG=∠CPG=∠QPE

又∵QP=QP,∠PQE=PQR

∴△QEP≌△QRP

∴∠AEC=∠QEP=∠QRP=∠DRC

又∵△CEA∽△CDP

∴∠AEC=∠CDP

∴∠CDP=∠DRC

∴CR=CD

∵BE=CR

∴BE=CD