（1）由已知得x＞0且 f′(x)=2x-(-1 ) k •
2a
x ．
当k是奇数时，f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k是偶数时，则 f′(x)=2x-
2a
x =
2(x+
a )(x-
a )
x ，
所以当x∈ (0，
a ) 时，f′（x）＜0，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0．
故当k是偶数时，f （x）在 (0，
a ) 上是减函数，在 (
a ，+∞) 上是增函数．
（2）若k=2012，则f（x）=x 2-2alnx（k∈N *）．
记g （x）=f （x）-2ax=x 2-2a xlnx-2ax， g′(x)=2x-
2a
x -2a=
2
x ( x 2 -ax-a) ，
若方程f（x）=2ax有唯一解，即g（x）=0有唯一解；
令g′（x）=0，得x 2-ax-a=0．因为a＞0，x＞0，
所以 x 1 =
a-
a 2 +4a
2 ＜0 （舍去）， x 2 =
a+
a 2 +4a
2 ．
当x∈（0，x 2）时，g′（x）＜0，g（x）在（0，x 2）是单调递减函数；
当x∈（x 2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）在（x 2，+∞）上是单调递增函数．
当x=x 2时，g′（x 2）=0，g（x） min=g（x 2）．
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x 2）=0．
则
g( x 2 )=0
g′( x 2 )=0 即
x 2 2 -2aln x 2 -2a x 2 =0
x 2 2 -ax 2 -a=0
两式相减得alnx 2+ax 2-a=0，因为a＞0，所以2lnx 2+x 2-1=0（*）．
设函数h（x）=2lnx+x-1，
因为在x＞0时，h （x）是增函数，所以h （x）=0至多有一解．
因为h （1）=0，所以方程（*）的解为x 2=1，从而解得 a=
1
2
（3）当k=2011时，问题等价于证明 xlnx＞
x
e x -
2
e (x∈(0，+∞)) ，
由导数可求φ（x）=xlnx（x∈（0，+∞））的最小值是 -
1
e ，当且仅当 x=
1
e 时取到，
设 m(x)=
x
e x -
2
e (x∈(0，+∞)) ，则 m′(x)=
1-x
e x ，
易得 m(x ) max =m(1)=-
1
e ，当且仅当x=1时取到，
从而对一切x∈（0，+∞），都有 lnx＞
1
e x -
2
ex 成立．故命题成立．