设数列{an}的前n项和为Sn（1）若数列{an} - 知识问答

设数列{an}的前n项和为Sn（1）若数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，求常数m，t的值，使Sn=man+t对

1个回答

解题思路：（1）利用等比数列的求和公式，即可求常数m，t的值；
（2）确定
n＝
a
n
−
a
1
d
+1
，利用S_n=ma_n²+ta_n+b对一切大于零的自然数n都成立，且t=[1/2]，即可得出结论；
（3）由题知S_n-S_n-1=a_n，可得
m(
a
n
2
−
a
n−1
2
)−
1
2
(
a
n
+
a
n−1
)＝0
，即可证明结论．
（1）Sn＝
a1−qan
1−q＝
1−2an
1−2＝2an−1
所以m=2，t=-1（4分）
（2）在等差数列{a_n}中，a_n=a₁+（n-1）d，所以n＝
an−a1
d+1
Sn＝na1+
1
2n(n−1)d＝(
an−a1
d+1)a1+
1
2(
an−a1
d+1)(
an−a1
d)d
＝
1
2dan2+
1
2an+
a1
2−
a12
2d
所以存在m＝
1
2d，d＝
1
2，b＝
a1
2−
a12
2d使得命题成立（6分）
（3）由题知S_n-S_n-1=a_n，
∴m(an2−an−12)−
1
2(an+an−1)＝0，
∴(an+an−1)[m(an−an−1)−
1
2]＝0
若a_n+a_n-1=0，则S₂=0，与题设矛盾
所以m(an−an−1)＝
1
2，m≠0，得an−an−1＝
1
2m
所以数列{a_n}为等差数列（6分）
点评：
本题考点：数列的应用；数列的求和．
考点点评：本题考查数列的应用，考查等差数列的求和公式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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