已知数列{an}满足对一切n∈N*有an＞0，且a

已知数列{an}满足对一切n∈N*有an＞0，且a13+a23+…+an3=Sn2，其中Sn=a1+a2+…+an．

1个回答

解题思路：（I）把两式a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a
3
1
+
a
3
2
+…+
a
3
n
+
a
3
n+1
＝
S
2
n+1
，相减即可得到
S
2
n+1
−
S
2
n
＝
a
3
n+1
，即
a
n+1
(
S
n+1
+
S
n
)＝
a
3
n+1
，又a_n+1＞0，可得
2
S
n
+
a
n+1
＝
a
2
n+1
；
（II）当n≥2时，由a_n+1²-a_n+1=2S_n及
a
2
n
−
a
n
＝2
S
n−1
可得（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，进而得到a_n+1-a_n=1，（*）
当n=1，2时也满足（*）．数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列．
（III）由b_n=2ⁿ•a_n═n•2ⁿ，可得T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，利用“错位相减法”及其等比数列的前n项和公式即可得出．
（I）∵a₁³+a₂³+…+a_n³=S_n²，
a31+
a32+…+
a3n+
a3n+1＝
S2n+1，
∴
S2n+1−
S2n＝
a3n+1，
∴（S_n+1-S_n）（S_n+1+S_n）=
a3n+1，
即an+1(Sn+1+Sn)＝
a3n+1，又a_n+1＞0，
∴Sn+1+Sn＝
a2n+1，∴2Sn+an+1＝
a2n+1，
∴a_n+1²-a_n+1=2S_n；
（II）当n≥2时，
由a_n+1²-a_n+1=2S_n及
a2n−an＝2Sn−1可得（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，
∵a_n+1+a_n＞0，∴a_n+1-a_n=1，（*）
当n=1时，
a31＝
S21＝
a21，a₁＞0，可得a₁=1，
当n=2时，
a31+
a32＝
S22，得到1+
a32＝(1+a2)2，及a₂＞0，解得a₂=2．
a₂-a₁=1也满足（*）．
∴数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，其通项公式a_n=1+（n-1）×1=n．
（III）∵b_n=2ⁿ•a_n═n•2ⁿ，∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
2T_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）×2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=
2×(2n−1)
2−1−n•2n+1=2ⁿ⁺¹-2-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Tn＝(n−1)•2n+1+2．
点评：
本题考点：数列的求和；数列递推式．
考点点评：熟练掌握等差数列及等比数列的通项公式、前n项和公式、“错位相减法”及其an=Sn-Sn-1（n≥2）是解题的关键．

1个回答

相关问题