已知关于x的方程mx2-3(m-1)x+2m-3=0.

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  • 解题思路:(1)首先此题的方程并没有明确是一次方程还是二次方程,所以要分类讨论:

    ①m=0,此时方程为一元一次方程,经计算可知一定有实数根;

    ②m≠0,此时方程为二元一次方程,可表示出方程的根的判别式,然后结合非负数的性质进行证明.

    (2)①由于抛物线的图象关于y轴对称,那么抛物线的一次项系数必为0,可据此求出m的值,从而确定函数的解析式;

    ②此题可用作差法求解,令y1-y2,然后综合运用完全平方式和非负数的性质进行证明.

    (3)根据②的结论,易知y1、y2的交点为(1,0),由于y1≥y3≥y2成立,即三个函数都交于(1,0),结合点(-5,0)的坐标,可用a表示出y3的函数解析式;已知y3≥y2,可用作差法求解,令y=y3-y2,可得到y的表达式,由于y3≥y2,所以y≥0,可据此求出a的值,即可得到抛物线的解析式.

    (1)分两种情况:

    当m=0时,原方程化为3x-3=0,解得x=1,

    ∴当m=0,原方程有实数根.(1分)

    当m≠0时,原方程为关于x的一元二次方程,

    ∵△=[-3(m-1)]2-4m(2m-3)=m2-6m+9=(m-3)2≥0.

    ∴原方程有两个实数根.

    综上所述,m取任何实数时,方程总有实数根.(3分)

    (2)①∵关于x的二次函数y1=mx2-3(m-1)x+2m-3的图象关于y轴对称,

    ∴3(m-1)=0.∴m=1.∴抛物线的解析式为y1=x2-1…(5分)

    ②∵y1-y2=x2-1-(2x-2)=(x-1)2≥0,

    ∴y1≥y2(当且仅当x=1时,等号成立).…(6分)

    (3)由②知,当x=1时,y1=y2=0.∴y1、y2的图象都经过(1,0).

    ∵对于x的同一个值,y1≥y3≥y2

    ∴y3=ax2+bx+c的图象必经过(1,0).(7分)

    又∵y3=ax2+bx+c经过(-5,0),∴y3=a(x-1)(x+5)=ax2+4ax-5a.

    设y=y3-y2=ax2+4ax-5a-(2x-2)=ax2+(4a-2)x+(2-5a).

    ∵对于x的同一个值,这三个函数所对应的函数值y1≥y3≥y2均成立,

    ∴y3-y2≥0,

    ∴y=ax2+(4a-2)x+(2-5a)≥0.

    又根据y1、y2的图象可得 a>0,

    ∴y最小=

    4a(2−5a)−(4a−2)2

    4a≥0.

    ∴(4a-2)2-4a(2-5a)≤0.∴(3a-1)2≤0.

    而(3a-1)2≥0.只有3a-1=0,解得a=

    1

    3.

    ∴抛物线的解析式为y3=

    1

    3x2+

    4

    3x−

    5

    3…(10分)

    点评:

    本题考点: 函数与方程的综合运用;函数解析式的求解及常用方法.

    考点点评: 此题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系、根的判别式、完全平方公式、非负数的性质以及用待定系数法确定函数解析式的方法,难度较大.