Question

设An是1^2+2^2+3^2+…+n^2的个位数字,n=1,2,3…,求证0.A1A2A3A4…An…是有理数

Answer 1

即证0.a1a2...an...是循环小数

计算an前若干值

1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,

6,0,9,5,0,6,5,9,0,0,

1,5,4,0,5,1,0,4,...

发现a(k+20)=a(k)

下证a(k+20)=a(k)

令f(n)=1^2+2^2+3^2+...+n^2

当f(n+20)-f(n)为10倍数时

表明f(n+20)与f(n)有相同个位数

f(n+20)-f(n)

=(n+1)^2+(n+2)^2+...+(n+20)^2

=10(2n^2+42n)+(1^2+2^2+...+20^2)．

由an前若干值可知1^2+2^2+...+20^2为10倍数

故a(k+20)=a(k)成立

0.a1a2...an...是由20个数字组成循环节循环小数

0.a1a2...an...是一个有理数