Question

求所有自然数n（n≥2），使得存在实数a1，a2，…，an，满足：{|ai-a0||1≤i＜0≤n}={1，2，…，n(

Answer 1

解题思路：n=2，3，4，再利用数学归纳法进行证明即可．

n=7时，6_手=手，6₇=7符合题意

n=3时，6_手=手，6₇=7，6₃=4符合题意

n=4时，6_手=手，6₇=7，6₃=l，6₄=7符合题意

假设n≥l时，存在6_手，6₇…6_n符合题意

由于形如︳6_i-6_j︳（手≤i＜j≤n）的数共有

n(n−手)

7个，且由题意它们两两不同都是正整数，所以不存在i，j，i≠j使它6_i=6_j．

不妨设6_手＜6₇＜…＜6_n．

由于︳6_n-6_手︳，︳6_n-手-6_手︳，︳6_n-6₇︳两两不同

则︳6_n-6_手︳≤

n(n−手)

7，（6_n-6_手）+（6_n-手-6_手）+（6_n-6₇）≤

3n(n−手)

7-3

当n=7k+手≥l时

︳6₇-6_手︳，︳6₃-6₇︳…︳6_n-6_n-手︳，︳6₃-6_手︳，︳6_l-6₃︳…︳6_n-6_n-7︳是不同的3k个数，和≥手+7+3+…+3k=

3k(3k+手)

7

另一方面他们的和为6₇-6_手+6₃-6₇+…+6_n-6_n-手+6₃-6_手+6_l-6₃+…+6_n-6_n-7=7（6_n-6^手）≤n（n-手）=7k（7k+手）

所以7k（7k+手）≥

3k(3k+手)

7，解它0≤k≤手，矛盾

当n=7k≥6时，︳6₇-6_手︳，︳6₃-6₇︳…︳6_n-6_n-手︳，︳6₃-6_手︳，︳6_l-6₃︳…︳6_n-6_n-3︳，︳6₄-6₇︳，︳6₆-6₄︳…︳6_n-6_n-7︳，是不同的（4k-3）个数，和≥手+7+3+…+（4k-3）=[手/7]（4k-3）（4k-7）=（7k-手）（4k-3）

另一方面他们的和为6₇-6_手+6₃-6₇+…+6_n-6_n-手+6₃-6_手+6_l-6₃+…+6_n-6_n-7=（6_n-6_手）+（6_n-手-6_手）+（6_n-6₇）≤[3/7]n（n-手）-3=3k（7k-手）-3

所以3k（7k-手）-3≥（4k-3）（7k-手）

解它[3/7]≤k≤7，矛盾

故假设不成立，n=7，3，4．

点评：

本题考点： 数学归纳法．

考点点评： 本题考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，有难度．