Question

棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D⊥面PAC？

Answer 1

解题思路：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，D1D为z轴，建立空间直角坐标系，设出点P的坐标，使AP与DB1垂直，AP与AC垂直，求出点P的坐标即可．

以D为原点建立如图所示的坐标系，

设存在点P（0，0，z），

AP=（-a，0，z），

AC=（-a，a，0），

DB1=（a，a，a），

∵B₁D⊥面PAC，∴

DB1•

AP=0，

DB1•

AC=0．∴-a²+az=0．

∴z=a，即点P与D₁重合．

∴点P与D₁重合时，DB₁⊥面PAC．

点评：

本题考点： 直线与平面垂直的判定．

考点点评： 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，还考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．