(1)an为等差数列,a3•a4=117,a2+a5=22
又a2+a5=a3+a4=22
∴a3,a4是方程x2-22x+117=0的两个根,d>0
∴a3=9,a4=13
∴
a1+2d=9
a1+3d=13
∴d=4,a1=1
∴an=1+(n-1)×4=4n-3
(2)由(1)知,sn=n+
n(n−1)×4
2=2n2−n
∵bn=
sn
n+c=
2n2−n
c+n
∴b1=
1
1+c,b2=
6
2+c,b3=
15
3+c,
∵bn是等差数列,∴2b2=b1+b3,∴2c2+c=0,
∴c=−
1
2(c=0舍去),
当c=−
1
2时,bn=2n为等差数列,满足要求.
(3)由(2)得bn=
2n2−n
n−
1
2=2n,Tn=2n+
n(n−1)×2
2=n2+n=(n+1)n
2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4≥4,
但由于n=1时取等号,从而等号取不到2Tn-3bn-1=2(n2+n)-3(2n-2)=2(n-1)2+4>4,
∴
64bn
(n+9)bn+1=
64×2n
(n+9)•2(n+1)=
64n
n2+10n+9=
64
n+
9
n+10≤4,
n=3时取等号(15分)
(1)、(2)式中等号不能同时取到,所以2Tn−3bn−1>
64bn
(n+9)bn+1.