Question

已知如图RT三角形ABC中,角BAC=90度,AB=AC,D为BC边上任意一点,求证2AD平方=BD的平方+CD的平方

Answer 1

过D作AB、AC的垂线DE、DF,垂足为E、F,则∠AED=90°,∠AFD=90° 又∵ ∠BAC=90° ∴∠EDF=90° ∴ 四边形AEDE为矩形 ∴ AE=DF,AF=DE,AD为矩形的对角线 令AE=DF=a,AF=DE=b,则根据勾股定理可得：AD^2=a^2+b^2 ∵∠BAC=90°,AB=AC ∴△BAC为等腰直角三角形 ∴∠B=∠C=45° 又∵∠AED=90°,∠AFD=90° ∴∠BED=90°,∠CFD=90° ∴△BED和△CFD均为等腰直角三角形 ∴ CF=DF=a,BE=DE=b 又在Rt△BED和Rt△CFD中,根据勾股定理可得：∴ BD^2=BE^2+DE^2=b^2+b^2=2b^2 CD^2=CF^2+DF^2=a^2+a^2=2a^2 ∴ BD^2+CD^2=2(a^2+b^2) 又∵AD^2=a^2+b^2 ∴ BD^2+CD^2=2AD^2