解题思路：（1）由于△ABC是直角三角形，点O是BC的中点，根据直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，故有OA=OB=OC=[1/2]BC；
（2）由于OA是等腰直角三角形的斜边上的中线，根据等腰直角三角形的性质知，∠CAO=∠B=45°，OA=OB，又有AN=MB，所以由SAS证得△AON≌△BOM可得：ON=OM ①∠NOA=∠MOB，于是有，∠NOM=∠AOB=90°，所以△OMN是等腰直角三角形．
（1）∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O为BC的中点，
∴OA=[1/2]BC=OB=OC，
即OA=OB=OC；
（2）△OMN是等腰直角三角形．理由如下：
连接AO
∵AC=AB，OC=OB
∴OA=OB，∠NAO=∠B=45°，
在△AON与△BOM中
AN＝BM
∠NAO＝∠B
OA＝OB
∴△AON≌△BOM（SAS）
∴ON=OM，∠NOA=∠MOB
∴∠NOA+∠AOM=∠MOB+∠AOM
∴∠NOM=∠AOB=90°，
∴△OMN是等腰直角三角形．
点评：
本题考点： 等腰三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．
考点点评： 本题利用了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质求解．