定义闭集合S,若a,b∈S则a+b∈S,a-b∈S (1)举一例真包含于R的无限闭集合

1个回答

  • (1)全体整数的集合Z满足条件

    (2)条件是S1,S2包含于R?如果是包含于的话,结论是错误的,因为此时可以取S1=S2=R

    如果条件式S1,S2真包含于R,结论就相当于需要证明S1并S2不等于R,分情况讨论:

    首先,由闭集合的定义可以得到以下结论:

    (a)令a=b,则0=a-b∈S

    (b)若a∈S,令k为整数,则ka∈S

    然后定义一个概念:

    集合的基:若a∈S,且a/2不属于S,且a不等于0,则称a是S的一个基(比如整数集合,1就是一个基,-1也是基,一个闭集合中可以有多个不同的基)

    再讨论:

    (A)若S1,S2之间存在包含关系,结论显然成立

    (B)若S1与S2之间不存在包含关系,则存在x∈S1且x不属于S2且x是S1的一个基(这个结论可以用反证法证明),则显然x/2就不属于S1,x/2也不能属于S2(否则的话x将属于S2),但x/2属于R

    综上,结论成立