解题思路：（1）把a=1代入f（x）=[1/3
x
3
+
x
2
+bx，求导得f′（x）=x2+2x+b，分△=4-4b≤0，与△=4-4b＞0两种情况讨论得出单调区间；
（2）令f′（x）=0得x2+2ax-a=0进一步得函数
a＝
x
2
1−2x]，令t=1-2x，则t∈（0，1），故
a＝
x
2
1−2x
=
1
4
(t+
1
t
−2)
，求出a的范围，得答案．
（1）当a=1时，f（x）=[1/3x3+x2+bx，∴f′（x）=x2+2x+b，
①若△=4-4b≤0，即b≥1 时，f′（x）=x2+2x+b≥0
所以f（x）为 R上的增函数，所以f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
②若△=4-4b＞0，即b＜1时，f'（x）=(x+1+
1−b)(x+1−
1−b)，
由f′（x）＞0得x＜−1−
1−b]，或x＞−1+
1−b
所以f（x） 在（-∞，−1−
1−b）与（−1+
1−b，+∞）上为增函数，
在（−1−
1−b，−1+
1−b） 上为减函数．
所以f（x）的增区间为（-∞，−1−
1−b）与（−1+
1−b，+∞）；减区间为（−1−
1−b，−1+
1−b）上．
（2）由f(1)＝
1
3，得b=-a，
即f（x）=[1/3x3+ax2−ax，∴f′（x）=x2+2ax-a．
令f′（x）=0得x2+2ax-a=0，∴（1-2x）a=x2，
∵0＜x＜
1
2]，∴1-2x≠0，∴a＝
x2
1−2x，
令t=1-2x，则t∈（0，1），∴a＝
x2
1−2x=[1/4(t+
1
t−2)，
∵h(t)＝t+
1
t−2在t∈（0，1）上单调递减，故h（t）∈（0，+∞），
∴
1
4(t+
1
t−2)∈（0，+∞），∴a∈（0，+∞），
函数f（x）在（0，
1
2]）上不存在极值点，∴a＝
x2
1−2x在（0，[1/2]）上无解，
∴a∈（-∞，0]
综上，a的取值范围为（-∞，0]．
点评：
本题考点： 利用导数研究函数的极值．
考点点评： 本题主要考查函数的单调性与导数的应用，构造函数，利用单调性求解函数的值域是解题的关键．
1年前
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