Question

设关于x的函数f（x）=1-2a-2acosx-2sin 2 x的最小值为f（a）．

Answer 1

（1）f（x）=1-2a-2acosx-2sin ²x=1-2a-2acosx-2（1-cos ²x）=2（cosx-

a

2 ） ²-

a 2

2 -2a-1．

当a≥2时，则cosx=1时，f（x）取最小值，即f（a）=1-4a；

当-2＜a＜2时，则cosx=

a

2 时，f（x）取最小值，即f（a）=-

a 2

2 -2a-1；

当a≤-2时，则cosx=-1时，f（x）取最小值，即f（a）=1；

综合上述，有f（a）=

1，a≤-2

-

1

2 a 2 -2a-1，-2＜a＜2

1-4a，a≥2.

（2）若f（a）=

1

2 ，a只能在[-2，2]内．

解方程-

a 2

2 -2a-1=

1

2 ，得a=-1，和a=-3．因-1∈[-2，2]，故a=-1为所求，此时

f（x）=2（cosx+

1

2 ） ²+

1

2 ；当cosx=1时，f（x）有最大值5．