已知二次函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=0,f(1)=1,若f(x)在区间[m,n]上的值域是[

2个回答

  • 解题思路:二次函数f(x)可以利用待定系数法求出函数解析式,注意到函数自身的最大值是1,能发现f(x)在区间[m,n]上单调递增,根据单调性建立等量关系.

    由f(1+x)=f(1-x)可知二次函数函数f(x)的对称轴为x=1,

    又因f(0)=0,f(1)=1则f(x)=-(x-1)2+1≤1,

    ∴n≤1

    ∴f(x)在区间[m,n]上单调递增即

    f(m)=m

    f(n)=n,

    −m2+2m=m

    −n2+2n=n,

    而m<n,所以m=0,n=1;

    故答案为0,1.

    点评:

    本题考点: 函数最值的应用.

    考点点评: 本题考查了函数解析式的求解,以及利用单调性求解函数的值域