解题思路：曲线运动的速度方向沿着曲线上该点的切线方向，时刻改变，故其一定是变速运动，一定具有加速度，加速度可以改变也可以不改变．
A、匀速运动是速度大小和方向都不变，曲线运动速度的方向时刻在变，所以曲线运动一定是变速运动，故A正确；
B、变速运动不一定是曲线运动，也可能直线运动，故B错误；
C、曲线运动不一定是变加速运动，比如：平抛运动，就是匀变速曲线运动，故C错误；
D、做平抛运动的物体，只受重力，加速度为g，因此它能做匀变速曲线运动，故D错误；
故选：A．
点评：
本题考点： 物体做曲线运动的条件；曲线运动．
考点点评： 本题考查了平抛运动的特点，加速度恒定．本题关键要明确曲线运动的运动学特点（速度一定变化，一定具有加速度）和动力学特点（合力与速度不在同一条直线上，且指向曲线的内侧）．