解题思路：（1）要证MN是⊙O的切线，只需证明MA⊥AB即可，易得∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB；故可得证．
（2）连接AD，则∠1=∠2，进而可得∠1+∠DGF=90°，故∠FDG=∠FGD，即FD=FG．
（3）求△BCG的面积，只需证得△FGH∽△BGC，再根据相似三角形的性质，求得△BCG的面积．
（1）证明：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CAB+∠ABC=90°．（1分）
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠MAC+∠CAB=90°．
即MA⊥AB．
∴MN是半圆的切线．（2分）
（2）证明：
证法1：∵D是弧AC的中点，
∴∠DBC=∠2．（3分）
∵AB是直径，
∴∠CBG+∠CGB=90°．
∵DE⊥AB，
∴∠FDG+∠2=90°．（4分）
∵∠DBC=∠2，
∴∠FDG=∠CGB=∠FGD．
∴FD=FG．（5分）
证法2：连接AD，则∠1=∠2，（3分）
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°．
∴∠1+∠DGF=90°．
又∵DE⊥AB，
∴∠2+∠FDG=90°．（4分）
∴∠FDG=∠FGD．
∴FD=FG．（5分）
（3）解法1：过点F作FH⊥DG于H，（6分）
又∵DF=FG，
∴S△FGH=[1/2]S△DFG=[1/2]×4.5=[9/4]．（7分）
∵AB是直径，FH⊥DG，
∴∠C=∠FHG=90°．（8分）
∵∠HGF=∠CGB，
∴△FGH∽△BGC．
∴
S△FGH
S△BGC＝(
HG
CG)2＝(
1.5
4)2＝
9
64．（9分）
∴S△BCG=[9/4×
64
9]=16．（10分）
解法2：∵∠ADB=90°，DE⊥AB，
∴∠3=∠2．（6分）
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠3．
∴AF=DF=FG．（7分）
∴S△ADG=9．（8分）
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．（9分）
∴
S△BCG
S△ADG＝(
CG
DG)2＝(
4
3)2＝
16
9．
∴S△BCG=[16/9×9＝16．（10分）
解法3：连接AD，过点F作FH⊥DG于H．
∵SFDG=
1
2]DG×FH=[1/2]×3FH=4.5，
∴FH=3．
∵H是DG的中点，FH∥AD，
∴AD=2FH=6
∴S△ADG=[1/2AD•DG＝
1
2×6×3＝9．
∵∠ADG=∠BCG，∠DGA=∠CGB．
∴△ADG∽△BCG．
∵DG=3，GC=4，
∴
S△ADG
S△BCG]=（[DG/CG]）2，
∴[9
S△BCG=（
3/4]）2，
∴S△BCG=16．
点评：
本题考点： 切线的判定；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．