Question

在给定条件X=x下,Y服从正态分布N(x,x^2),并且X的边缘分布为uniform(0,1),求E(Y)Var(Y)c

Answer 1

E(Y|X)为正态分布N(x,x^2)的期望,是一个变量x

E(Y)=E(E(Y|X))=E(x)

x服从X的分布,为U(0,1),期望0.5

E(Y)=E(X)=0.5

Var(Y)=E(Var(Y|X))+Var(E(Y|X))=E(X^2)+Var(X)=2E(X^2)-E^2(X)=2/3-1/4=5/12

E(XY|X=x)=xE(Y|X)=x^2

E(XY)=E(E(XY|X=x))=E(x^2)=1/3

E(XY)-E(X)E(Y)=1/3-0.5^2=1/3-1/4=1/12