Question

设f(n)=1+1/2+1/3+.+1/n 求证f(1)+f(2)+.+(n-1)=n·[f(n)-1]用数学归纳法

Answer 1

本题你在(n-1)前少打了一个f.

当n=1时,f(1)=1,0=f(1)-1成立；

设当n=k时此式成立,即f(1)+f(2)+...+f(k-1)=k[f(k)-1]

当n=k+1时,f(1)+f(2)+...+f(k-1)+f(k)=k[f(k)-1]+f(k)=(k+1)f(k)-k

而(k+1)[f(k+1)-1]=(k+1)[f(k)+1/(k+1)-1]=(k+1)f(k)+1-k-1=(k+1)f(k)-k

即f(1)+f(2)+...+f(k)=(k+1)[f(k+1)-1]成立.

综上所述,f(1)+f(2)+...+f(n-1)=n[f(n)-1]成立.