Question

设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g′′（x）＜0，g（x0）=a是g（x）的极值，则f（g（x））在x0的极大值

Answer 1

解题思路：利用复合函数的求导法则，计算f（g（x））的一阶导数与二阶导数，然后利用函数取得极值的条件，选择正确答案．

设 h（x）=f（g（x）），如果h（x）在x₀取得极大值，则 f（g（x））在x₀取得极大值．

h′（x）=f′（g（x））g′（x），h″（x）=f″（g（x））（g′（x））²+f′（g（x））g″（x）．

将 x=x₀，g（x₀）=a 代入得，

h′（x₀）=f′（a）g′（x₀），h″(x0)＝f″(a)(g′(x0))2+f′(a)g″(x0)．

由于g（x₀）=a是g（x）的极值，故有 g′（x₀）=0，

从而 h′（x₀）=f′（a）g′（x₀）=0，

h″(x0)＝f″(a)(g′(x0))2+f′(a)g″(x0)=f′（a）g″（x₀）．

若 h'（x₀）=0 且h″（x₀）＜0，则 h（x）在x₀取得极大值．

注意到 g″（x）＜0，从而由 h″（x₀）=f′（a）g″（x₀）＜0 可得 f′（a）＞0．

故正确选项为 B．

点评：

本题考点： 极值判定定理；复合函数的求导法则．

考点点评： 本题考察了复合函数的求导法则以及函数取得极值的条件．