Question

在四棱柱ABC﹣A 1 B 1 C 1 D 1 中，AA 1 ⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，AA

Answer 1

（I）证明：（1）连接CD ₁

∵四棱柱ABCD﹣A ₁B ₁C ₁D ₁中，底面ABCD是菱形

∴A ₁D ₁

AD，AD

BC，A ₁D ₁=AD，AD=BC；

∴A ₁D ₁

BC，A ₁D ₁=BC，

∴四边形A ₁BCD ₁为平行四边形；

∴A ₁B

D ₁C

∵点E、F分别是棱CC ₁、C ₁D ₁的中点；

∴EF

D ₁C

又∵EF

A ₁B

又∵A ₁B

平面A ₁DB，EF

面A ₁DB；

∴EF

平面A1BD

（II）连接AC交BD于点G，连接A ₁G，EG

∵四棱柱ABCD﹣A ₁B ₁C ₁D ₁中，A ₁A⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形

∴AA ₁⊥AB，AA ₁⊥AD，EC⊥BC，EC⊥DC，AD=AB，BC=CD

∵底面ABCD是菱形，

∴点G为BD中点，

∴A ₁G⊥BD，EG⊥BD

∴∠A ₁GE为直二面角A ₁﹣BD﹣E的平面角，

∴∠A ₁GE=90°

在棱形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，

∴∠ABC=120°，

∴AC=

∴AG=GC=

在面ACC ₁A ₁中，△AGA ₁，△GCE为直角三角形

∵∠A1GE=90°

∴∠EGC+∠A1GA=90°，

∴∠EGC=∠AA ₁G，

∴Rt△A ₁AG∽Rt△ECG

∴

所以当EC=

时，A ₁﹣BD﹣E为直二面角．