Question

已知x，y，z∈Z，且满足x+y+z=3，x3+y3+z3=3，求x2+y2+z2所有可能的值组成的集合．

Answer 1

解题思路：设x²+y²+z²=t，则xy+yz+xz=[9−t/2]，利用x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），可得xyz=[11−3t/2]，即可得出结论．

设x²+y²+z²=t，则

∵（x+y+z）²=x²+y²+z²+2（xy+yz+xz），

即9=t+2（xy+yz+xz），

∴xy+yz+xz=[9−t/2]，

∵x³+y³+z³-3xyz=（x+y+z）（x²+y²+z²-xy-yz-zx），

∴3-3xyz=3（t-[9−t/2]），

∴xyz=[11−3t/2]，

∵x，y，z∈Z，t＞0，

∴t=1，3，

∴x²+y²+z²所有可能的值组成的集合为{1，3}．

点评：

本题考点： 二维形式的柯西不等式．

考点点评： 本题主要考查立方公式的知识点，解答本题的关键是求出xyz=[11−3t/2]．