Question

一个数学题：已知在三角形ABC中,a+c=2b,则cosA+cosC-cosAcosC+1/3sinAsinC=?

Answer 1

∵a＋c＝2b

∴sinA＋sinc＝2sinB

即sinA＋sinC＝2sin(A＋C)

由和差化积、二倍角公式得：

2sin[(A+C)/2]×cos[(A-C)/2]＝4sin[(A+C)/2]×cos[(A+C)/2]

∵sin[(A+C)/2]≠0

∴cos[(A-C)/2]＝2cos[(A+C)/2]

cos(A/2)cos(C/2)＋sin(A/2)sin(C/2)＝2cos(A/2)cos(C/2)－2sin(A/2)sin(C/2)

即3sin(A/2)sin(C/2)＝cos(A/2)cos(C/2)

∴tan(A/2)×tan(C/2)＝1/3

∴[(1－cosA)/sinA]×[(1－cosC)/sinC]＝1/3

∴cosA＋cosC－cosAcosC＋（1/3)sinAsinC＝1