解题思路：（1）按题意可关于x的方程
log
a
x−2
x+2
=logaa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根x=s、t，等价于关于x的二次方程ax2+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根s、t，然后建立不等式关系，解之即可求出a的取值范围；
（2）先求出g（x）的导数为g'（x）=[1/lna•
x(x−4)
(x+2)(x−1)(x−2)]，令φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），则φ（2）φ（4）=4a（18a-2）=8a（9a-1）＜0．根据函数g（x）的单调性可知M=g（4），根据a的范围可求出M的取值范围．
（1）按题意，得loga
s−2
s+2=f（x）max=logaa（s-1）．
∴
s−2
s+2＞0
s−1＞0 即 s＞2．
又loga
t−2
t+2=f（x）min=logaa（t-1）
∴关于x的方程loga
x−2
x+2=logaa（x-1）在（2，+∞）内有二不等实根x=s、t．
⇔关于x的二次方程ax2+（a-1）x+2（1-a）=0在（2，+∞）内有二异根s、t．
⇔
a＞0且a≠1
△＝(a−1)2+8a(a−1)＞0
−
a−1
2a＞2
4a+2(a−1)+2(1−a)＞0⇔0＜a＜[1/9]． 故 0＜a＜[1/9]．
（2）∵g（x）=logaa(x−1)−loga
x−2
x+2=loga
(x−1)(x+2)
x−2+1，
g'（x）=[1/lna•
x(x−4)
(x+2)(x−1)(x−2)]．
令φ（x）=ax2+（a-1）x+2（1-a），则φ（2）φ（4）=4a（18a-2）=8a（9a-1）＜0．
∴2＜s＜4＜t．
∵lna＜0，∴当x∈（s，4）时，g'（x）＞0；当x∈（4，t）是g'（x）＞0．
∴g（x）在[s，4]上递增，在[4，t]上递减．
故M=g（4）=loga9+1=loga9a．
∵0＜a＜
点评：
本题考点： 对数函数的定义域；对数函数的值域与最值；利用导数研究函数的单调性；一元二次方程的根的分布与系数的关系．
考点点评： 本题主要考查了对数函数的定义域和值域，同时考查了利用导数研究函数的单调性，以及最值的计算，属于中档题．
1年前
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