Question

欧几里得空间的维是怎么定义的?如果是向量还好理解；如果是函数,用积分代表内积,那么这个欧几里得空间的维数怎样定义?

Answer 1

对于无限维内积空间来讲就要看需求了,可以定义代数维数和正交维数.

代数维数就是一组代数基当中元素的个数（势或者基数）,这是普通线性空间就有的,不必考虑内积,当然代数基的存在性依赖选择公理.

正交维数是正交基当中的元素个数,不过需要注意的是,按正交基展开通常不是有限线性组合,所以正交维数和代数维数是不同的,通常正交维数要小一些.当然,正交基的存在性也是有条件的,比如Hilbert空间可以保证正交基的存在性.

再给你举个例子吧,比如l^2空间,{(t,t^2,t^3,...):|t|