解题思路：（1）因为∠ODC+∠EDB=∠ODC+∠COD=90°，可得出∠DOC=∠EDB，同理得∠ODC=∠DEB，又因为∠OCD=∠B=90°，因此△CDO∽△BED，那么可得出关于OC，CD，BD，BE比例关系的式子，有CD的长，有OC，BC的长，那么可得出BE的长，因此就能求出E的坐标，然后根据待定系数法求出过DE的函数的关系式；
（2）要求梯形COEB的面积就必须知道BE的长，同（1）的方法，我们可以用t表示出BE，那么就能用关于t的式子表示出S，然后根据函数的性质来判断S的最大值及相应的t的值．
（3）当OD2+DE2的算术平方根取最小值时OE就最小，OA为定值，因此此时AE最小，那么三角形AOE的面积就最小，此时梯形OEBC的面积最大，那么也就是说OE最小时梯形OEBC的面积最大，根据（2）我们知道梯形最大时t的值，由此可得出E的坐标．
（1）∵∠ODC+∠EDB=∠ODC+∠COD=90°，
∴∠DOC=∠EDB，
同理得∠ODC=∠DEB，
∵∠OCD=∠B=90°，
∴△CDO∽△BED，
∴[CD/BE＝
CO
BD]，即
1
3
BE＝
1
1−
1
3，
得BE=[2/9]，则点E的坐标为E（1，[7/9]），
设直线DE的一次函数表达式为y=kx+b，直线经过两点D（[1/3]，1）和E（1，[7/9]），
代入y=kx+b得k＝−
1
3，b＝
10
9，
故所求直线DE的函数表达式为y=−
1
3x+
10
9；
（2）存在S的最大值．
∵△COD∽△BDE，
∴[CD/BE＝
CO
DB]，即[t/BE＝
1
1−t]，BE=t-t2，
S＝
1
2×1×（1+t-t2）=−
1
2(t−
1
2)2+
5
8．
故当t=[1/2]时，S有最大值[5/8]；
（3）在Rt△OED中，OD2+DE2=OE2，OD2+DE2的算术平方根取最小值，也就是斜边OE取最小值．
当斜边OE取最小值且一直角边OA为定值时，另一直角边AE达到最小值，
于是△OEA的面积达到最小值，
此时，梯形COEB的面积达到最大值．
由（2）知，当t=[1/2]时，梯形COEB的面积达到最大值，故所求点E的坐标是（1，[3/4]）．
点评：
本题考点： 一次函数综合题；正方形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质．
考点点评： 本题考查了正方形的性质，一次函数的综合应用以及相似三角形的性质等知识点．本题中用相似三角形得出比例关系，然后用线段的比例关系和CD表示出BE是解题的关键．