Question

已知函数f(x)=loga1-m(x-2)x-3(a＞0，a≠1)，

Answer 1

解题思路：（1）先由条件：“f（2-x）+f（2+x）=0”得：

lo

g

a

1+mx

-x-1

+lo

g

a

1-mx

x-1

=0

化简得：（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立，即可求得m 值；

（2）先写出f（x）的表达式：

f(x)=lo

g

a

x-1

x-3

，由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），对a进行分类讨论：当0＜a＜1时，当a＞1时，分别求得实数a，b的值即可．

（1）由条件得：loga

1+mx

-x-1+loga

1-mx

x-1=0〔（1分）〕

∴（m²-1）x²=0对定义域内的任意x成立〔（3分）〕

∴m²-1=0〔（4分）〕

∴m=1或m=-1〔（5分）〕

当m=1时不成立

∴m=-1〔（7分）〕

（2）f(x)=loga

x-1

x-3

由f（x）的取值范围恰为（1，+∞），

当0＜a＜1时，y=

x-1

x-3x∈（b，a）的值域为（0，a），〔（8分）〕

函数y=

x-1

x-3在x∈（b，a）上是减函数，所以[a-1/a-3=0，这是不可能的．〔（10分）〕

当a＞1时，y=

x-1

x-3]x∈（b，a）的值域为（a，+∞），〔（11分）〕

所以，函数y=

x-1

x-3在x∈（b，a）上是减函数，并且b=3〔（13分）〕

所以，[a-1/a-3=a，解得a=2+

3]〔（15分）〕

综上：a=2+

3，b=3〔（16分）〕

点评：

本题考点： 对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本小题主要考查对数函数图象与性质的综合应用，考查运算求解能力，（2）问解答关键是对a分类讨论后应用函数的单调性．